Okazuje się, że we współrzędnych sferycznych można funkcję falową przedstawić najogólniej jako iloczyn dwóch funkcji: funkcji radialnej \( R(r) \) zależnej tylko od promienia \( r \) oraz funkcji kątowej \( Y \)( \( \theta \), \( \phi \)) zależnej tylko od kątów.

Rozwiązując równanie Schrödingera dla atomu wodoru stwierdzamy, że funkcja falowa elektronu zależy od trzech liczb całkowitych - iczb kwantowych:

• \( n \),
• \( l \),
• \( m_{l} \).

Przypomnijmy, że w dotychczas prezentowanych modelach atomu wodoru, zarówno energia elektronu jak i długość stojącej fali materii stowarzyszonej z elektronem zależały od jednej liczby kwantowej \( n \).

Tak jest w przypadku ruchu w jednym wymiarze. Jednak trójwymiarowa funkcja falowa zależy od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, że ruch cząstki w przestrzeni jest opisany przez trzy niezależne zmienne; na każdą współrzędną przestrzenną przypada jedna liczba kwantowa.

Te trzy liczby kwantowe oznaczane \( n \), \( l \), \( m_{l} \) spełniają następujące warunki:

Ze względu na rolę jaką odgrywa liczba \( n \) w określeniu energii całkowitej atomu, jest nazywana główną liczbą kwantową. Liczba \( l \) nosi nazwę azymutalnej liczby kwantowej, a liczba \( m_{l} \) magnetyczną liczbą kwantową.

Równania Schrödingera ma poprawne fizycznie rozwiązania tylko dla liczb kwantowych spełniających warunki ( 2 ).

Z tych warunków widać, że dla danej wartości \( n \) (danej energii) istnieje na ogół kilka różnych możliwych wartości \( l \), \( m_{l} \).

Zgodnie z interpretację Borna związek pomiędzy falą materii i związaną z nią cząstką wyraża się poprzez kwadrat modułu funkcji falowej \( {|\psi |^{{2}}} \), który wyraża gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni

Na Rys. 1 pokazane są (dla kilku stanów kwantowych) wykresy radialnej gęstości prawdopodobieństwa, danej wyrażeniem

(Czynnik \( r^{2} \) w powyższym równaniu wynika stąd, że prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w obszarze pomiędzy \( r \) i \( r+dr \), w trzech wymiarach, jest proporcjonalne do elementarnej objętości \( r^{2}dr \).).

Na Rys. 1 na osi x odłożona jest odległość elektronu od jądra \( r \) podzielona przez promień pierwszej orbity Bohra \( r_{1} \), natomiast na osi \( y \) przyjęto jednostki umowne.

Maksima gęstości prawdopodobieństwa, zaznaczone linią przerywaną, odpowiadają promieniom orbit w modelu Bohra dla \( n \) =1, 2, 3 ( \( r_{n} = r_{1}n^{2} \)).

Kątową gęstość prawdopodobieństwa \( {|Y_{{l,\;m_{{l}}}}(\theta,\phi )|^{2}} \) też można przedstawić graficznie w postaci tak zwanych wykresów biegunowych.

Na Rys. 2 pokazane są wykresy biegunowe gęstości prawdopodobieństwa dla kilku stanów kwantowych atomu wodoru.

Początek takiego wykresu umieszczamy w punkcie \( r = 0 \) (jądro), a kąt \( \theta \) mierzymy od osi pionowej ( \( z \)). Dla danej wartości kąta \( \theta \) punkt wykresu leży w odległości (mierzonej pod kątem \( \theta \)) równej \( {|Y_{{l,\;m_{{l}}}}(\theta ,\phi )|^{2}} \) od początku układu tak jak to zaznaczono na jednym z wykresów.

Obraz przestrzenny otrzymujemy przez obrót wykresów biegunowych wokół pionowej osi (układ jest symetryczny ze względu na kąt \( \phi \)).

Kątowe rozkłady prawdopodobieństwa (takie jak na Rys. 2 ) noszą nazwę orbitali. Do oznaczenia orbitali stosuje się litery: \( l = 0 \) - orbital s, \( l = 1 \) - orbital p, \( l = 2 \) - orbital d, \( l = 3 \) - orbital f, itd.

Orbitale można traktować jako rozkłady ładunku elektronu wokół jądra. Gdy mówimy, że jądro atomowe jest otoczone chmurą elektronową mamy właśnie na myśli orbitale.